Grupo semisimple

En matemáticas, un grupo de Lie se llama semisimple si su álgebra de Lie es semisimple.

Ejemplos

• El grupo especial lineal ${\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {R} )}$ y su versión compleja ${\displaystyle {\text{SL}}(n,\mathbb {C} )}$ son grupos de Lie semisimples.
• Los grupos especiales ortogonales ${\displaystyle {\text{SO}}(n,\mathbb {R} )}$ y ${\displaystyle {\text{SO}}(n,\mathbb {C} )}$ son grupos de Lie semisimples.
• El grupo ${\displaystyle {\text{GL}}(2,\mathbb {C} )}$ no es semisimple porque tiene un toro normal no trivial. Es un ejemplo de grupo de Lie reductivo no semisimple.
• Sea G un grupo triangular, es decir, un grupo de Lie conexo cuya álgebra de Lie admite una representación fiel en un grupo de matrices triangulares de dimensión finita sobre ${\displaystyle \mathbb {R} }$ o ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Entonces G no es semisimple.

Referencias

• Adams, John Frank (1969), Lectures on Lie Groups, Chicago Lectures in Mathematics, Chicago: Univ. of Chicago Press, ISBN 0-226-00527-5 ..